Sistemas y Señales

Transformada Z

Publicado por electronicaalalcance el 24 noviembre, 2011
Publicado en: Sistemas y Señales.

La Transformada Z convierte una señal real o compleja definida en el dominio del tiempo discreto en una representación en el dominio de la frecuencia compleja.

El nombre de Transformada Z procede de la variable del dominio, al igual que se podría llamar «Transformada S» a la Transformada de Laplace. Un nombre más adecuado para la TZ podría haber sido «Transformada de Laurent», ya que está basada en la serie de Laurent. La TZ es a las señales de tiempo discreto lo mismo que Laplace a las señales de tiempo continuo.

Definición

La transformada Z, al igual que otras transformaciones integrales, puede ser definida como una transformada unilateral o bilateral.

Transformada Z bilateral

La TZ bilateral de una señal definida en el dominio del tiempo discreto x[n] es una función X(z) que se define

X(z) = Z\{x[n]\} = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n] z^{-n} \

donde n es un entero y z es, en general, un número complejo de la forma

z = Aejω

donde A es el módulo de z, y ω es la frecuencia angular en radianes por segundo (rad/s).

Transformada Z unilateral

De forma alternativa, en los casos en que x[n] está definida únicamente para n ≥ 0, la transformada Z unilateral se define como

X^{+}(z) = Z^{+}\{x[n]\} = \sum_{n=0}^{\infty} x[n] z^{-n} \

En el procesamiento de señales, se usa esta definición cuando la señal es causal. En este caso, la Transformada Z resulta una serie de Laurent, con ROC del tipo | z | > R ; es decir que converge «hacia afuera».

Un ejemplo interesante de la TZ unilateral es la función de generación de probabilidades, donde x[n] es la probabilidad que toma una variable discreta aleatoria en el instante n, y la función X(z) suele escribirse como X(s), ya que s = z−1. Las propiedades de las transformadas Z son útiles en la teoría de la probabilidad.

Transformada Z inversa

La Transformada Z inversa se define

x[n] = Z^{-1} \{(X(z) \}= \frac{1}{2 \pi j} \oint_{C} X(z) z^{n-1} dz \

donde C \ es un círculo cerrado que envuelve el origen y la región de convergencia (ROC). El contorno, C \ , debe contener todos los polos de X(z) \ .

Un caso especial y simple de esta integral circular es que cuando C \ es el círculo unidad (que también puede usarse cuando la ROC incluye el círculo unidad), obtenemos la transformada inversa de tiempo discreto de Fourier:

x[n] = \frac{1}{2 \pi} \int_{-\pi}^{+\pi} X(e^{j \omega}) e^{j \omega n} d \omega \

La TZ con un rango finito de n y un número finito de z separadas de forma uniforme puede ser procesada de forma eficiente con el algoritmo de Bluestein. La transformada discreta de Fourier (DFT) es un caso especial de la TZ, y se obtiene limitando z para que coincida con el círculo unidad.

Región de convergencia (ROC)

La región de convergencia, también conocida como ROC, define la región donde la transformada-z existe. La ROC es una región del plano complejo donde la TZ de una señal tiene una suma finita. La ROC para una x[n] es definida como el rango de z para la cual la transformada-z converge. Ya que la transformada–z es una serie de potencia, converge cuando x[n]z − n es absolutamente sumable.

ROC = \{z : \sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]z^{-n} < \infty\}\

Propiedades de la Region de Convergencia:

La región de convergencia tiene propiedades que dependen de la características de la señal, x[n].

  • La ROC no tiene que contener algún polo.Por definición un polo es donde x[z] es infinito. Ya que x[z] tiene que ser finita para todas las z para tener convergencia, no puede existir ningún polo para ROC.
  • Si x[n] es una secuencia de duración finita, entonces la ROC es todo el plano-z, excepto en |z|=0 o |z|=∞.
  • Si x[n] es una secuencia del lado derecho entonces la ROC se extiende hacia fuera en el ultimo polo desde x[z].
  • Si x[n] es una secuencia del lado izquierdo, entonces la ROC se extiende hacia dentro desde el polo mas cercano en x[z].
  • Si x[n] es una secuencia con dos lados, la ROC va ser un anillo en el plano-z que esta restringida en su interior y exterior por un polo.

Ejemplo 1 (Sin ROC)

Sea x[n] = 0.5^n\ . Expandiendo x[n]\ en (-\infty, \infty)\ obtenemos

x[n] = \{..., 0.5^{-3}, 0.5^{-2}, 0.5^{-1}, 1, 0.5, 0.5^2, 0.5^3, ...\} = \{..., 2^3, 2^2, 2, 1, 0.5, 0.5^2, 0.5^3, ...\}\

Siendo la suma

\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]z^{-n} < \infty\

No hay ningún valor de z\ que satisfaga esta condición.

Ejemplo 2 (ROC causal)

ROC muestra en azul, el circulo es un punto gris y el círculo \left|z\right| = 0.5 muestra del círculo.

Sea x[n] = 0.5^n u[n]\ (donde u es la función escalón). Expandiendo x[n]\ en (-\infty, \infty)\ obtenemos

x[n] = \{..., 0, 0, 0, 1, 0.5, 0.5^2, 0.5^3, ...\}\

Siendo la suma

\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]z^{-n} = \sum_{n=0}^{\infty}0.5^nz^{-n} = \sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{0.5}{z}\right)^n = \frac{1}{1 - 0.5z^{-1}}\

La última igualdad se obtiene con la fórmula del sumatorio para series geométricas, y la igualdad sólo se conserva si \left|0.5 z^{-1}\right| < 1\ , lo cual puede ser reescrito para definir z\ de modo \left|z\right| > 0.5\ . Por lo tanto, la ROC es \left|z\right| > 0.5\ . En este caso la ROC es el plano complejo exterior al círculo de radio 0,5 con origen en el centro.

Ejemplo 3 (ROC anticausal)

ROC muestra en azul, el círculo unitario como un punto gris circular i el circulo exterior \left|z\right| = 0.5 muestra del círculo.

Sea x[n] = -(0.5)^n u[-n-1]\ (donde u es la función escalón). Expandiendo x[n]\ entre (-\infty, \infty)\ obtenemos

x[n] = \{..., -(0.5)^{-3}, -(0.5)^{-2}, -(0.5)^{-1}, 0, 0, 0, ...\}\

Siendo la suma

\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]z^{-n} = -\sum_{n=-\infty}^{-1}0.5^nz^{-n} = -\sum_{n=-\infty}^{-1}\left(\frac{z}{0.5}\right)^{-n}\
= -\sum_{m=1}^{\infty}\left(\frac{z}{0.5}\right)^{m} = -\frac{0.5^{-1}z}{1 - 0.5^{-1}z} = \frac{z}{z - 0.5} = \frac{1}{1 - 0.5z^{-1}}\

De nuevo, usando la fórmula de sumatorio para series geométricas, la iguadad sólo se mantiene si \left|0.5^{-1}z\right| < 1\ , de modo que podemos definir z\ como \left|z\right| < 0.5\ . Aquí, la ROC es \left|z\right| < 0.5\ , es decir, el interior de un círculo centrado en el origen de radio 0,5.

Conclusión de los ejemplos

Los ejemplos 2 y 3 muestran claramente que la transformada X(z)\ de x[n]\ es única si y sólo si se especifica cuál es la ROC. Dibujando los gráficos de polos y ceros para los casos causal y anticausal, comprobaríamos como la ROC de ambos casos no incluye el polo que está en 0,5. Esto se extiende a los casos con múltiples polos: la ROC nunca contiene polos.

En el ejemplo 2, el sistema causal tiene una ROC que incluye \left| z \right| = \infty\ , mientras que al sistema anticausal del ejemplo 3 le pertenece una ROC que incluye \left| z \right| = 0\ .

En los sistemas con múltiples polos, es posible tener una ROC que no incluya ni \left| z \right| = \infty\ ni \left| z \right| = 0\ . La ROC crea una región circular. Por ejemplo, x[n] = 0.5^nu[n] - 0.75^nu[-n-1]\ tiene dos polos en 0,5 y 0,75. La ROC será 0.5 < \left| z \right| < 0.75\ , la cual no incluye ni el origen ni el infinito. Este tipo de sistemas se conoce como sistemas de causalidades mezcladas, ya que contiene un término causal 0.5^nu[n]\ y otro anticausal -(0.75)^nu[-n-1]\ .

La estabilidad de un sistema se puede determinar simplemente conociendo su ROC. Si esta ROC contiene el círculo unidad (p. ej. \left| z \right| = 1\ ) entonces el sistema es estable. En los sistemas anteriores, el sistema causal es estable porque \left| z \right| > 0.5\ contiene el círculo unidad.

Si tenemos la TZ de un sistema sin su ROC (p.ej., un x[n]\ ambiguo) podemos determinar una única señal x[n]\ en función de que queramos o no las siguientes propiedades:

  • Estabilidad
  • Causalidad

Si queremos un sistema estable, la ROC debe contener el círculo unidad. Si queremos un sistema causal, la ROC debe contener al infinito. Si queremos un sistema anticausal, la ROC debe contener al origen.

De este modo, podemos encontrar una señal en el tiempo x[n]\ que sea única.

Propiedades

  • Linealidad. La TZ de una combinación lineal de dos señales en el tiempo es la combinación lineal de sus transformadas en Z.
Z(a_1 x_1[n] + a_2 x_2[n]) = a_1 Z(x_1[n]) + a_2 Z(x_2[n]) \
  • Desplazamiento temporal. Un desplazamiento de k hacia la derecha en el dominio del tiempo es una multiplicación por z−k en el dominio de Z.
Z(x[n-k]) = z^{-k}Z(x[n]) \
  • Convolución. La TZ de la convolución de dos señales en el tiempo es el producto de ambas en el dominio de Z.
Z(\{x[n]\} \bigodot \! \! \! \! \! \! \star \ \ \{y[n]\}) = Z(\{x[n]\}) Z(\{y[n]\}) \
  • Diferenciación.
Z(\{nx[n]\}) = \ -z \frac{dZ(\{x[n]\})}{dz} \

Tabla con los pares más habituales de la transformada Z

  Señal, x(n) Transformada Z, X(z) ROC
1 \delta(n)\, 1\, \mbox{todo }z\,
2 u(n)\, \frac{1}{1-z^{-1}} |z| > 1\,
3 a^n u(n)\, \frac{1}{1-a z^{-1}} |z| > |a|\,
4 n a^n u(n)\, \frac{az^{-1} }{ (1-a z^{-1})^2 } |z| > |a|\,
5 -a^n u(-n-1)\, \frac{1}{1-a z^{-1}} |z| < |a|\,
6 -n a^n u(-n-1)\, \frac{az^{-1} }{ (1-a z^{-1})^2 } |z| < |a|\,
7 \cos(\omega_0 n) u(n) \, \frac{ 1- z^{-1}\cos(\omega_0) }{ 1-2z^{-1}\cos(\omega_0)+ z^{-2} } |z| >1\,
8 \sin(\omega_0 n) u(n) \, \frac{ z^{-1} \sin(\omega_0) }{ 1-2z^{-1}\cos(\omega_0)+ z^{-2} } |z| >1\,
9 a^n \cos(\omega_0 n) u(n) \, \frac{ 1-az^{-1} \cos(\omega_0) }{ 1-2az^{-1}\cos(\omega_0)+ a^2 z^{-2} } |z| > |a|\,
10 a^n \sin(\omega_0 n) u(n) \, \frac{ az^{-1} \sin(\omega_0) }{ 1-2az^{-1}\cos(\omega_0)+ a^2 z^{-2} } |z| > |a|\,

Relación con Laplace

La TZ bilateral es simplemente la transformada de Laplace bilateral de la señal muestreada

x(t)\sum_{n=-\infty}^{\infty} \delta(t-nT) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n] \delta(t-nT) \

donde x(t) \ es la señal continua muestreada, x[n]=x(nT) \ la n-ésima muestra, T \ el período de muestreo, y con la sustitución z = e^{sT} \ .

Del mismo modo, la TZ unliateral es simplemente la transformada de Laplace unilateral de la señal ideal muestreada. En ambas se asume que la señal muestreada vale cero para todos los índices negativos en el tiempo.

Relación con Fourier

La TZ es una generalización de la transformada de Fourier de tiempo discreto (DTFT). La DTFT puede hallarse evaluando la TZ X(z)\ en z=e^{j\omega}\ o, lo que es lo mismo, evaluada en el círculo unidad. Para determinar la respuesta en frecuencia del sistema, la TZ debe ser evaluada en el círculo unidad.

Ecuación diferencial de coeficientes lineales constantes

La ecuación diferencial de coeficientes lineales constantes (LCCD) es una representación de un sistema lineal basada en la ecuación de la media autorregresiva.

\sum_{p=0}^{N}y[n-p]\alpha_{p} = \sum_{q=0}^{M}x[n-q]\beta_{q}\

Ambos términos de esta ecuación pueden dividirse por \alpha_0 \ , si no es cero, normalizando \alpha_0 = 1\ la ecuación LCCD puede ser escrita

y[n] = \sum_{q=0}^{M}x[n-q]\beta_{q} - \sum_{p=1}^{N}y[n-p]\alpha_{p}\

Esta forma de la ecuación LCCD es más explícita para comprobar que la salida actual y[{n}]\ se define en función de las salidas anteriores y[{n-p}]\ , la entrada actual x[{n}]\ , y las entradas anteriores x[{n-q}]\ .

Función de transferencia

Se calcula haciendo la TZ de la ecuación

Y(z) \sum_{p=0}^{N}z^{-p}\alpha_{p} = X(z) \sum_{q=0}^{M}z^{-q}\beta_{q}\

y dividiendo

H(z) = \frac{Y(z)}{X(z)} = \frac{\sum_{q=0}^{M}z^{-q}\beta_{q}}{\sum_{p=0}^{N}z^{-p}\alpha_{p}} = \frac{\beta_0 + z^{-1} \beta_1 + z^{-2} \beta_2 + ... + z^{-M} \beta_M}{\alpha_0 + z^{-1} \alpha_1 + z^{-2} \alpha_2 + ... + z^{-N} \alpha_N}\

Ceros y polos

Gracias al teorema fundamental del álgebra sabemos que el numerador tiene M raíces (llamadas ceros) y el denominador tiene N raíces (llamadas polos). Factorizando la función de transferencia

H(z) = \frac{(1 - q_1 z^{-1})(1 - q_2 z^{-1})...(1 - q_M z^{-1})}{(1 - p_1 z^{-1})(1 - p_2 z^{-1})...(1 - p_N z^{-1})}\

donde q_k\ es el k-ésimo cero y p_k\ es el k-ésimo polo. Los ceros y polos son por lo general complejos, y por tanto se pueden dibujar en el plano complejo.

En definitiva, los ceros son las soluciones de la ecuación obtenida de igualar el numerador a cero, mientras que los polos son las de la ecuación que se obtiene al igualar a cero el denominador.

Se puede factorizar el denominador mediante la descomposición en fracciones simples, las cuales pueden ser transformadas de nuevo al dominio del tiempo. Haciendo esto obtenemos la respuesta al impulso y la ecuación diferencial de coeficientes lineales constantes del sistema.

Salida del sistema

Si por un sistema H(z)\ pasa una señal X(z)\ entonces la salida será Y(z) = H(z)X(z)\ . Haciendo una descomposición en fracciones simples de Y(z)\ y la TZ inversa de cada una de ellas puede encontrarse entonces la salida y[n]\ .

Señales

Publicado por electronicaalalcance el 7 septiembre, 2011
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Señales

Una señal es cualquier fenómeno que puede ser representado de manera cuantitativa mediante una función continua (cuyo dominio es los números reales) o discreta (cuyo dominio es los números enteros). Como ejemplos de señales se tienen: La variación de la presión de aire a la salida de un parlante. La variación de la intensidad electromagnética que llega a una antena receptora. La variación de la temperatura máxima tomada diariamente. Los colores de una imagen digitalizada (pixeles).

Señales Continuas

Una señal continua es una señal «suave» que está definida para todos los puntos de un intervalo determinado del conjunto de los números reales. Por ejemplo, la función seno es un ejemplo continuo, como la función exponencial o la función constante. Una parte de la función seno en el rango de tiempos de 0 a 6 segundos también es contínua. Si deseamos ejemplos de la naturaleza tenemos la corriente, el voltaje, el sonido, la luz, etc.

Señales Discretas

Una señal discreta es una señal discontinua que está definida para todos los puntos de un intervalo determinado del conjunto de los números enteros. Su importancia en la tecnología es que, los computadores y microchips que son utilizados en este nuevo mundo «Digital» en el que vivimos, sólo manejan señales discretas. Una señal discreta en la naturaleza podría ser el pulso cardíaco, el rebotar de una pelota al caer libremente, etc.

Si para todos los valores de una variable existe un valor, estamos hablando de una señal continua.

Parte Par e Impar de una señal

Cualquier señal se puede poner como la suma de una señal par y una señal impar.

Par
Una función par es una función en donde  x(t) = x(-t)\,\!. Es decir, esta función presenta una simetría en torno al eje y.
Impar
Una función impar es una función en donde  x(t) = -x(t) \,\!. Es decir, esta función presenta una simetría respecto al origen del sistema de coordenadas. (Espejo a través de la recta y=-x\,\!)
Periódica
Una función periódica es aquella que muestra una repetición constante, y no evoluciona con el tiempo T\,\! cumpliéndose que  x(t+T)=x(t) \,\!. Por ejemplo, una onda cuadrada o sinusoidal son ondas periódicas, en tanto que la función x(t)=t\,\! no es periódica.

REPRESENTACIONES DE FOURIER PARA LAS SEÑALES

Publicado por electronicaalalcance el 6 septiembre, 2011
Publicado en: Sistemas y Señales.

REPRESENTACIONES DE FOURIER PARA LAS SEÑALES

 Existen cuatro representaciones distintas de Fourier, cada una aplicable a diferentes tipos de señales. Estas cuatro clases están definidas por las propiedades de periodicidad de una señal y si el tiempo es de tipo continuo o discreto. Las señales periódicas tienen representación en series de Fourier. La Serie de Fourier (FS) aplica a señales periódicas de tiempo continuo mientras que la Serie Discreta de Fourier (DTFS) aplica a señales periódicas de tiempo discreto. Las señales no periódicas tienen representación en forma de transformada. Si la señal es continua en el tiempo y no periódica, la representación es llamada Transformada de Fourier (FT). Si la señal es discreta en el tiempo y no periódica entonces la representación usada es la transformada de Fourier en tiempo discreto (DTFT). La siguiente tabla ilustra la relación entre las propiedades de tiempo de una señal y la representación de Fourier adecuada.

Tiempo

Periódicas

No periódicas

Continuas

Series de Fourier

( FS )

Transformada de Fourier

( FT )

Discretas

Series discretas de Fourier

( DTFS )

Transformada discreta de Fourier

( DTFT)

 La siguiente tabla muestra las relaciones matemáticas utilizadas para calcular las representaciones de Fourier.

Tiempo

Periódicas

No periódicas

Continuas

Series de Fourier

 

 

Transformada de Fourier

 

 

Discretas

Series discretas de Fourier

 

 

Transformada discreta de Fourier

 

 

 

Señales y sistemas de tiempo continuo en el dominio de la frecuencia

Publicado por electronicaalalcance el 5 septiembre, 2011
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Publicado por electronicaalalcance el 5 septiembre, 2011
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